文献来源：Albouy, D., Behrens, K., Robert-Nicoud, F., & Seegert, N. The optimal distribution of population across cities[J]. Journal of Urban Economics，2019，110: 102-113.
摘要：本文提出了一个城市模型，其中包括：（1）异质性地点；（2）财政外部性和城市外部性；（3）内生的城市数量，即城市发展的外延边际（extensive margin）。城市规模的边际收益递减导致大城市决策者认为他们的城市在社会最优分配中的规模过大了。因此，在均衡状态下，最具吸引力地区的大城市规模过小，而在相对不吸引人的地区，小城市规模发展过大。作者通过拓展亨利·乔治定理，提出了一个最优城市规模检验模型。
01引言
许多经济学家认为，自由移民导致城市人口过剩和城市效率低下。城市新增人口增加了对土地和其他服务的竞争，产生了交通堵塞、犯罪、污染和疾病等负外部性。最终，这种观点推动了限制城市规模增长和补贴农村地区的政策。
作者考察了自由移民是否必然导致城市规模过大。为此，作者比较了三种情况：（1）社会最优——中央政府将人口分配到各个地方；（2）地方政府最优——市政府直接控制城市的规模；（3）自由流动均衡——个人自由选择他们居住的城市。中央政府追求整个城市体系的福利最大化，即让所有城市的规模边际收益趋于相等。在求解中央政府最优时，作者提供了一个基于亨利·乔治定理的城市人口规模最优检验。而地方政府追求单个城市的居民福利最大化，将城市人口规模设定为当地有效规模。当各个城市的边际回报率相等时，平均回报率低于峰值水平。因此，地方政府将通过减少人口来提高平均回报。从最优地点流失的人口不得不生活在低质量的地点，从而创造了太多的城市。在自由流动均衡下，各个城市的平均回报将是相等的。
当地点同质时，中央最优、地方政府最优和自由迁移人口分配结果都是一致的——所有城市的边际回报率和平均回报率都相同，所有人口以最优的城市规模平均分配到各个地点；而当城市具有异质性时，三种结果不再一致。地点的异质性导致城市的边际回报相等时，平均回报互不相等，这意味着追求最高平均回报的自由迁移将破坏社会最优分配。
从根本上说，跨空间的资源和人口的有效分配取决于集聚经济、拥挤成本和城市发展吸引力的异质性。但是，土地租金、中央税收和其他相关政策扭曲了以上三个要素的相对重要性，导致人口在均衡中被错误分配。这些扭曲可能导致最大的城市太小，而很多城市被过度开发。例如，当移民必须为他们赖以生存的土地付费时，自由移民可能导致城市过多，而最大的城市太小。
02地方与中央政府分配：异质性的作用
2.1具有异质性地点的城市系统
经济由总量为的匀质的主体构成，经济空间由一系列城市地点和农村地区组成。内生性地将这些主体分为城市人口N和农村人口R，使得。在经济中有一个单一的，同质的消费商品，效用函数是线性的。
集聚经济转化为更高的工资。用n(a)表示a城市的人口规模，则a城市工人的总产出（和工资）可表示为：
（1）   
其中a>0为城市生产率，为集聚经济外部性，集聚经济对城市规模的弹性为??>?0。
城市居民还承担着各种城市成本(有时也称为“拥堵”成本)，包括通勤成本和地租。为简单起见，假定总土地租金(ALR)与城市总体的交通费用(ACC)成正比，以γ?≡?ALR/ ACC表示这一比例系数。假设与城市CBD 距离为x的通勤成本采用vxγ的形式，那么，在一个间隔为[-n/2，n/2]线性城市内，使居民（agents） 在不同地点之间保持中立的地租可表示为，这意味着总地租、总通勤成本和总城市成本如下:

其中，γ?≡?ALR/ ACC，令，则，居住在规模为n(a)的城市的平均效用为：
（2）
ρ为人均土地价值的份额，ρ?∈?[0，1]。γ?>??确保城市成本控制集聚经济以外的一些城市的大小。这一假设保证了多个城市的存在，并与经验证据相一致。
农村地区不存在拥堵，因此居民在农村地区获得的收益等于工资水平：
（3）
  为农业部门的边际产出。
2.2 地方政府最优
每个地方政府的目标是使每个人在其城市获得的效用最大化，当没有土地租金，即ρ=0时，地方政府的目标函数为：
（4）
一阶条件为：
（5）
意味着城市中个体效用最大化的人口为
（6）
二阶条件成立时，??<?γ。
由此可得：
（7）
我们通过将方程(7)重写为效用、工资和局部外部性的函数来定义集约边际（intensive margin）条件：

（8）
那么对于任何一对有人居住的城市a、b，由（7）、（8）可得：
（9）
局部最优的外延边际条件保证了边际城市al为居民提供与农村部门相同的效用:
（10）
2.3 中央政府最优
中央政府的目标是使空间经济的总效用最大化，这就相当于使商品的总消费最大化：
（11）
下面的条件(12)-(17)充分描述了社会最优分配：
（12）
最优城市规模的一阶条件为：
（13）
互补松弛条件。对于任意一对居住地点a和b，这种集约边际条件可以写成效用函数和城市外部性的函数：


城市发展最优外延边际的一阶条件a*意味着，在最不具生产力的地点开发城市满足：，结合（13）式可得
因此有：
（16）
（17）
03自由迁移均衡
居民通过选择居住地来最大化效用。所有城市的均衡人口都具有以下特征：，其中，下标p表示私有部门的均衡分配。
定义为在均衡状态下，生产力最低的人口居住区。由（2）式可得：
（20）
当存在土地租金，即时，这一有效城市规模与实际规模不同。这是因为土地租金扭曲了城市成本。外延边际均衡条件保证了边际城市为居民提供与其他所有城市和农村部门相同的效用:
（21）
最后一个等式假设最小城市的有效规模是有限的。空间均衡的集约边际（intensive margin）条件可以写成u和财政外部性（主要考虑土地租金）的函数：
（22）
对于任意一对有人居住的城市a和b，都满足：
（23）
其中表示当土地租金在本地完全重新分配，即时的效用水平。财政外部性反映土地租金的金钱外部性，而城市和地方外部性是反映集聚变化的技术外部性。由于需要支付土地租金成本，居民获得的收益和城市的平均收益存在一定的差距。在自由迁移均衡中，财政外部性导致外生生产率较大的城市比没有土地租金外部性的城市更小。
本部分证明，如果居民需要承担土地租金成本，那么移民获得的利益与城市产生的平均利益之间存在财政外部性。当土地租金外部性足够大时，均衡的城市体系提供了过多的城市，而最大的城市规模过小。
04结论
本文提供了一个全面而简明的最佳城市规模分析框架，该框架考虑了异质地点、土地租金外部性和内生的城市数量。作者强调了集聚、城市成本和地租分配的作用。
比较中央和地方的最优配置，得出第一个结论，即如果城市具有异质性生产率，中央政府最优的城市规模大于地方政府最优的城市规模；比较自由迁移均衡与中央政府最优配置，得出第二个结论，即最大城市在均衡中可能太小。
中央政府主导的社会最优城市规模平衡了单个城市随人口规模递减的回报和不同城市之间的由地点异质性引起的回报差异。这种平衡的政策启示是：首先，地方政府扭曲了单个城市回报随规模递减和城市之间规模回报差异之间的平衡。其次，由于地方政府只关注城市内部的收益递减，所有的居民都认为他们的城市在中央政府最优分配中太大了；相比之下，在人口自由流动的均衡中，城市系统只关注城市间收益的平衡。这一结果表明，城市政策应由中央政府协调，使居民居住在较好地点的成本与居住在较差地点的成本相平衡。

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译者单位：南开大学区域经济学17级博士生
核稿：周玉龙
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